4.1.3 Die allgemeinsten Quantenoperationen

Was sind die allgemeinsten Operationen, die wir auf Quantenzustände mit nn Qubits anwenden können? Jede Operation, die die folgenden drei Eigenschaften aufweist:

  1. 1.
    ​

    sie ist linear,

  2. 2.
    ​

    sie bildet Quantenzustände auf Quantenzustände ab,

  3. 3.
    ​

    sie ist invertierbar

ist eine gültige Quantenoperation!

Übungsaufgabe 4.4 (Toffoli).

Definiere die Toffoli-Operation auf drei Qubits durch

T⁢|a,b,c⟩=|a,b,c⊕a⁢b⟩T\left|a,b,c\right\rangle=\left|a,b,c\oplus ab\right\rangle

auf Basiszuständen (a⁢bab ist dabei das Produkt der zwei Bits a,b∈{0,1}a,b\in\{0,1\}, und ⊕\oplus wurde in Gl. 3.21 definiert), und erweitere sie durch Linearität auf beliebige Drei-Qubit-Zustände. Zeige, dass TT alle Quantenzustände auf Quantenzustände abbildet, und dass TT invertierbar ist.

Bemerkung: TT invertiert das dritte Bit genau dann, wenn beide ersten Bits beide eins sind – es ist also eine “zweifach-kontrollierte”-NOT-Operation.

Lösung. Sei
|ψ⟩\displaystyle\left|\psi\right\rangle =ψ000⁢|000⟩+ψ001⁢|001⟩+ψ010⁢|010⟩+ψ011⁢|011⟩\displaystyle=\psi_{000}\left|000\right\rangle+\psi_{001}\left|001\right% \rangle+\psi_{010}\left|010\right\rangle+\psi_{011}\left|011\right\rangle
+ψ100⁢|100⟩+ψ101⁢|101⟩+ψ110⁢|110⟩+ψ111⁢|111⟩\displaystyle+\,\psi_{100}\left|100\right\rangle+\psi_{101}\left|101\right% \rangle+\psi_{110}\left|110\right\rangle+\psi_{111}\left|111\right\rangle
ein beliebiger Drei-Qubit-Zustand. Das Ergebnis einer Toffoli-Operation ist dann
|ψ′⟩=T⁢|ψ⟩\displaystyle\left|\psi^{\prime}\right\rangle=T\left|\psi\right\rangle =ψ000⁢|000⟩+ψ001⁢|001⟩+ψ010⁢|010⟩+ψ011⁢|011⟩\displaystyle=\psi_{000}\left|000\right\rangle+\psi_{001}\left|001\right% \rangle+\psi_{010}\left|010\right\rangle+\psi_{011}\left|011\right\rangle
+ψ100⁢|100⟩+ψ101⁢|101⟩+ψ110⁢|𝟏𝟏𝟏⟩+ψ111⁢|𝟏𝟏𝟎⟩.\displaystyle+\,\psi_{100}\left|100\right\rangle+\psi_{101}\left|101\right% \rangle+\psi_{110}\mathbf{\left|111\right\rangle}+\psi_{111}\mathbf{\left|110% \right\rangle}.
Die zwei Basiszustände sind fett hervorgehoben. Bemerke, dass sich einzig die Amplituden von |110⟩\left|110\right\rangle und |111⟩\left|111\right\rangle vertauscht haben. Demnach gilt wenn ∑a,b,c=01ψa,b,c2=1\sum_{a,b,c=0}^{1}\psi_{a,b,c}^{2}=1, dass auch ∑a,b,c=01(ψa,b,c′)2=1\sum_{a,b,c=0}^{1}(\psi^{\prime}_{a,b,c})^{2}=1. Also bildet TT Quantenzustände auf Quantenzustände ab.

4.4 zeigt, dass die Toffoli-Operation eine gültige Quantenoperation auf drei Qubit ist. Interessanterweise ist es tatsächlich möglich TT als eine Reihe von Ein- und Zwei-Qubit-Operationen zu schreiben. Tatsächlich ist das für jede Quantenoperation auf nn Qubits möglich – aber das werden wir nicht in diesem Kurs lernen, da man viel Erfahrung mit Quantenoperationen braucht, um zu verstehen, wie das funktioniert!